小礼拜堂角落拱顶的体积

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皮耶罗在《五个正规立体的短书》中提到了一个有趣的问题，就是确定当两个等长直径的圆柱体互相垂直相交时，其共同体积的大小。

两个等长直径的圆柱体相交（来源：FMC）

皮耶罗试图确定如下形状的体积：

小礼拜堂的双角落拱顶（来源：FMC）

皮耶罗认为该形状的体积等于（2/3）×d3，其中d是圆柱体的直径。该时期出版的数学类书籍与之前的书相比更加进步的一点在于，会进而论证该方程式结果的合理性，而不是就此打住。皮耶罗也是认识到了这一必要性，他通过如下两个形状论证：

第一个图形是内含一个圆形的正方形，且圆形内还含有三角形ABC，圆形的直径是BC。第二个图形是矩形，其短边等于正方形的边长，长边等于正方形的对角线长。矩形内有一个椭圆形，椭圆形内还有一个三角形KLM，其中LM为椭圆形的最长轴线。皮耶罗建立了如下比例等式：

皮耶罗随后提出如下三维图形：

小礼拜堂的双角落拱顶和内部锥体（来源：FMC）

小礼拜堂的双角落拱顶的内部球体，球体内有一个圆锥体（来源：FMC）

与上述二维形状类似，皮耶罗并未进一步解释，而是直接论述：

然后他进一步阐明，并得出双角落拱顶的体积V为：

如此得出如下公式：

也就是：

并且由于

则

皮耶罗对此问题的解答是正确的，可以通过以下的积分计算证明：

运用积分计算双角落拱顶的体积（来源：FMC）

如果我们用平行于该形状中纬线的平面p横切整个形状，并且将该平面与该形状中心的距离定为x，则我们可以运用毕达哥拉斯定理来规定：

因此，边长为2y的阴影部分正方形的面积，即平面p与该形状横截面的面积为：

如此，该形状的体积则为：

如何计算两个同样直径互相垂直的圆柱体的横截面这一问题，在阿基米德的《方法》中也被讨论过，但阿基米德的这本书早已失传，直到1906年才被重新发现，当时有人在一卷被重复利用的羊皮纸卷上发现了这部著作的一部分，被重复利用的羊皮纸上原本阿基米德的大部分文字已被抹去，以便誊写一处修道院的圣诗集。并没有记载表明，在皮耶罗的时代，阿基米德的著作就已经广为流传，皮耶罗也不太可能获得阿基米德的著作。因此，皮耶罗独一无二的计算方法应该是原创的。

综上所述，皮耶罗是一位有清晰空间意识和几何直觉的一流数学家。他的数学和艺术理念在其著作中有所体现，他看待空间和形状的方式在其画作中展露无遗，这使得他成为那个特殊时代的典范。在15世纪后期，艺术和数学开始联手，彼此互相促进。