皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡的数学著作

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皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡不仅是一名伟大画家，还撰写过若干本数学著作，例如上文提到过的《绘画透视学》、《算盘的论著》（Trattato d'Abaco）和名为《五个正规立体的短书》（Libellus de Quinque Corporibus Regularibus）的几何学著作。

根据皮耶罗在《算盘的论著》引言中的说明，该书并非出于供“算盘”学校使用而写作，而是应其朋友之请求写成，他朋友或许也是像他一样的工匠。该书结构类似于其他算盘著作，但有一大重要变化，那就是几何学所占比重远超同类书，全书127页中，有48页都是介绍几何学的。在当时整体充斥着算术书的环境中，《算盘的论著》这本书可谓是独树一帜。举个例子，我们来看一下该书是如何介绍叉乘积的：

7卷布料要花9里拉，那么5卷布料要花多少钱呢？

里拉是当时的一种硬币，其名称源于旧时1里拉（那时里拉还是表示重量的单位）银币的价值。1个佛罗伦萨里拉单位为20索尔多，1个索尔多为12迪纳里。这种货币体系类似于十进制出现前的英镑货币体系（1971年前），当时1英镑为20先令，1先令为12便士。前面这个问题的答案如下：

以如下步骤解答：首先需要知道5卷价钱的布料数量乘以7卷布料的价钱，即9里拉，也就是5乘以9等于45；再将该数值除以7，其结果是6里拉，余3里拉；将该余数转换为索尔多，则共有60索尔多，再除以7，则有8索尔多，余4索尔多；再将该余数转换为迪纳里，则共有48迪纳里，再除以7，则有个迪纳里。这样一来，依照上述算法，5卷布料的价钱就为6里拉、8索尔多和迪纳里。

皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡的《五个正规立体的短书》内页

《五个正规立体的短书》还收录了其他算盘专著中常见的诸多几何问题，但在很多情况下，其解决方式更加先进，也更加完善。该书分四部分：第一部分是引言，关注的是平面多边形；第二和第三部分关注的是五大柏拉图式正多面体，即正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体，并且还讨论了将其中一些正多面体放置于其他正多面体内部的情况；第四部分及结论部分讨论了其他正多面体，包括13个所谓的阿基米德式或半规则正多面体中的6个。总体来说，该书涉及140个问题，其中59个与规则正多面体有关。尽管本书以问题归类进行篇章组织，却极具创新性，且篇章结构合理。该书还重新探讨了古典希腊几何学的主题之一，即规则正多面体，这在欧几里得的《几何原本》（Elements）以及阿基米德的《论球体和圆柱体》（Spheres and Cylinders）与《论锥体和球体》（Conoids and Spheroids）中均有所提及。

《五个正规立体的短书》一书提出的问题类似如下：

假设有一个球体，其直径为7。现在我要在该球体内部放置一个正四面体，并且使每一个顶点都刚好触及球体的表面。那么，该正四面体的边长应为多少？

书中给出的答案为π的近似值，即22/7。这部论著仅留下一份善本，现存于梵蒂冈图书馆。然而，该书也是皮耶罗唯一一部印刷于文艺复兴时期的专著。事实上，这本书是作为卢卡·帕乔利的《神圣比例》（De Divina Proportione）一书的附录而出现的，且被翻译为意大利语。《神圣比例》于1509年在威尼斯出版，促进了对三维几何体的数学研究。

对于艺术家而言，学习数学不再只是纯粹出于其实用性，而是一种获取更高级知识的途径。