驾驭机会：概率的数学研究

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在介绍概率的概念和基本性质之前，我们先来分析一下德米尔的两种赌博游戏。第一种的具体情况是这样的：掷4次骰子，至少掷得一枚6点，这样的概率有多少？我们可以运用概率论的基本原理解决这个问题，即某个事件或其相反事件发生的概率为1。因此，我们必须首先算一下，掷4次骰子，没有掷得6点的概率是多少。显然，每掷一次骰子，该概率为p（没有掷得6点的概率）=5/6。而掷4次骰子，每一次都是完全独立的，这就意味着我们需要将每一次的概率相乘，得出总概率为：

（5/6）·（5/6）·（5/6）·（5/6）=（5/6）4=625/1296=0.482<1/2。

这样，至少掷得一枚6点的概率就是：

1-（625/1296）=671/1296=0.518>1/2。

由此我们可以看出，正如德米尔原本猜测的一样，掷4次骰子，掷得一枚6点，在这上面下注是有胜算的。

我们可以用类似的方法来分析和解决第二种赌法：掷两枚骰子24次，掷得一对6点的概率是多少？跟之前一样，我们必须先算一下在这24次中，无法掷得一对6点的概率。两枚骰子每掷一次，该概率为p（没有掷得一对6点的概率）=35/36。因此，掷24次，该概率为：

p（没有掷得一对6点的概率）=（35/36）24=0.5086。

从这个结果可以明显看出，至少掷得一对6点的概率为：

1-0.5086=0.4914<1/2。

以上我们分析的赌博游戏是历史上最早解决的概率问题之一。在这个过程中，我们已经运用到了一系列定义和性质，二者构成了概率论的基础。

最著名的雅典黑陶双耳瓶之一，上面的阿喀琉斯和埃阿斯正在玩骰子。该陶器可追溯至公元前6世纪，证明该游戏曾盛极一时

皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（1749-1827）

皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）是18世纪最伟大的数学家之一。他曾学习神学和数学，而后在巴黎皇家军事学院和高等师范学院任教。他是法国研究所和英国皇家学会的会员。法国大革命时期，他为十进制的建立付出过不懈努力。在拿破仑的要求下，他曾任参议院的议员和议长，并于1805年获得荣誉军团勋章。波旁王朝复辟以后，拉普拉斯强烈拥护路易十八，后者于1817年授予他侯爵头衔。

他的主要成就在数学和物理领域，最伟大的科学贡献或许就是出版于1799-1825年的五卷本巨著《天体力学》。在该著作中，他完善了万有引力，证明了太阳系的稳定性，牛顿、哈雷和欧拉早期都曾致力于这些问题的研究。

从1780年开始，拉普拉斯转而研究概率问题，出版了专著《概率论的解析理论》（1812），这被认为是该领域的首部著作。这些作品的成功又促使他完成了《概率哲学论》（1814），这本书可以说是他概率论解析理论的简化版。他在书中对确定的宇宙观进行了完整和一致的论述。关于这一点，拉普拉斯说道：“从本文中可以看出，概率论起码是唯一一种可以简化为计算的常识……该科学领域最值得我们思考，其用途也最为广泛，应当纳入我们的公共教育体系。”

这些性质，很多都在之前提到的帕斯卡和费马的通信中进行过讨论，后来又在拉普拉斯的概率论专著中建立起来。不过它们都是以逆向的形式呈现出来的，下面我们通过几个相关的掷骰子游戏加以说明：

帕斯卡和费马在通信中还谈论到另外一个有关赌博游戏的问题。具体地说，就是如果游戏在某一时刻突然中断，玩家应该如何分配赌金。这个问题就是我们常说的“点数分配问题”。最早涉及该问题的是卡尔达诺，他提出的解决方案是基于双方的现有点数，而不是双方在游戏结束后获胜的概率。

点数分配问题

接下来，我们来看一个最早的概率问题：罗翰和潘妮玩赌博游戏，先得10点者胜。每一轮游戏中，双方输赢的机会均等，每赢一次得一点。17轮结束后，潘妮以9∶8领先。这时，游戏无法继续了。由于双方都没得满10点，因此他们决定分配现有的赌金。该怎么分配呢？

“正确”解决这个问题的依据，严格来说并不属于数学范畴，这就意味着“合理的解决办法”可能不止一个。然而，我们分析两位玩家获胜的概率，就可以据此分配赌金。

实际上，他们只要最多再玩两轮就能决出胜负。而在这两轮游戏之后，可能（且等可能）产生四种结果：（P，P），（P，R），（R，P），（R，R）。P代表潘妮赢，R代表罗翰赢。其中在三种情况下，潘妮会赢，因为她就差一点了；只在一种情况下（即最后一种情况），罗翰会赢。所以，他们的赌金应该按照3∶1的比例分配，即潘妮得3/4，罗翰得1/4。