计数问题：顺序重要吗？
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请记住，某一事件发生的概率是按照以下原则求得的：p（事件）=有利情况/可能情况，即确定某一事件发生的次数，然后除以可能发生的总数。在某些情况下，这种计算十分简单。例如，掷骰子得到偶数的概率是多少？对于这个题目来说，可能情况有6种，其中有利情况有3种（掷得2、4或6）；因此，p（事件）=3/6=0.5。由于可能情况的总数非常小，我们可以简单地通过列出所有情况来计算出有利情况的数量。但是，也有一些时候，对有利和（或）可能情况的计算或许要复杂得多。因此，我们必须正确地分析问题，并找到计算各种情况数量的方法。也就是说，列出所有情况，并对其正确计算。这对于我们分析运气游戏，或者任意相对复杂的随机问题，都极其重要。
接下来，我们将通过分析几个案例来看几种不同的计数方法。
情境1
12位选手赛跑，（前三名）登上领奖台，会出现多少种不同的情况？
12位选手谁都有可能跑第一。任意一人得第一的情况下，另外11名选手都有可能得第二，然后其余10位选手都有可能得第三。所以，领奖台上可能出现的不同情况有：12·11·10=1320。
这个问题其实就是将12位选手按3人分组，每组选手的顺序都不同，求总共有多少组。
在这里，名单上出现1、2、3和2、3、1是不一样的，即使在这两种情况下，登上领奖台的人相同。在第一份名单中，1号选手获得冠军（2号亚军，3号季军），而在第二份名单中，2号选手获得冠军（3号亚军，1号季军）。
这个题目也就是求12个元素中，3个元素的不同组合数：正如我们之前所说，V12，3可以通过12·11·10来计算得出。总的来说，我们在计算m个元素中n个元素的不同组合数（n
Vm，n=m·（m-1）·（m-2）·……·（m-n+1）
情境2
玩桥牌时，一人手中的13张牌可以有多少种不同的排序方法？
如果我们要计算13张牌可能出现的不同排序方法，那么第一张牌就有13种可能，第二张有12种可能，第三张有11种可能。以此类推，直到最后一张，也就只剩一种可能了。
因此，排序总数为：
13·12·11·……·3·2·1=13!=6227020800
以上计算过程也就是求13个元素的排列数，其结果也可以用阶乘符号表示。在这个题目中，就是在第一个数字之后加上感叹号，即13!。n!就表示所有小于等于n且大于等于1的整数的积。下面这个表格中列出了1~12的阶乘，我们可以从中看出这些数字的规律：
计数是很多纸牌游戏的基本技巧：《玩纸牌者》，卢卡斯·凡·莱登（1520）
情境3
玩桥牌时，把52张牌分给4个人，会有多少种不同的牌面？
在这里，我们需要计算的是52张牌，每13张分成一组，不考虑每组牌的顺序，会有多少种不同的分法。要计算不同的牌面，而且不计纸牌顺序，一种可能的计算方法为：
52·51·50·……（13项）……·42·41·40=3.95424·1021
然而，由于不考虑纸牌顺序，我们应该注意到，每13张牌一组，每组牌我们都算了13!次（即13的排列方法总数）。这意味着桥牌游戏中，不同的牌面应该有：
（52·51·……·41·40）/13!=52!/（39!13!）=635013559600
可以看到，我们得出的数字是相当大的。对于第一种算法，我们将纸牌顺序考虑在内，得出的结果为22位数；对于第二种算法，我们不考虑纸牌顺序，得出的结果为12位数。我们可以将这两个数字同宇宙年龄相比较：1.5·1010年（用秒来表示大约为4.7·1017秒）。也就是说，第一个数字（3.9·1021）要比自宇宙大爆炸以来流逝的所有秒数的8000倍还要大，而第二个数字（6.3·1011）则是宇宙自形成至今所经历的所有年数的42倍。
这个题目也就是求52个元素中13个元素的组合数，元素顺序不计，其结果可以记为C52，13。计算方法我们已经讲了，就是52!/（39!·13!）。因此，要求m个元素中n个元素的组合数（n
Cm,n=m!/(m-n)!·n!
情境4
足球决赛以平局收场，需要以点球决胜负，通常每队踢5球，每一球必须由不同的球员完成。那么每队11名球员中需要选出5名来踢点球完成比赛，该球员名单共有多少种？
在这个题目中，球员顺序是否需要考虑在内尚不清楚，所以两种理解都是可以的。
a）5名球员为一组，任意两组至少要有一名不同的球员。在这种情况下，11个元素中每5个元素的组合数为：11!/（5!·6!）=462。
b）但是，熟悉此类比赛的人都知道，每一队提交给裁判的名单上都要列出球员的顺序，5名球员要依次踢出5个点球。这样一来，如果两份名单上的球员相同，而顺序不同，那就应被视作两份不同的名单。因此，11个元素中5个元素的不同组合数为：11!/6!=55440。