人人书

博弈论:决策制胜的法则全文阅读

外国小说文学理论侦探推理惊悚悬疑传记回忆杂文随笔诗歌戏曲小故事
人人书 > 科普学习 > 博弈论:决策制胜的法则

19、20世纪的数学游戏

书籍名:《博弈论:决策制胜的法则》    作者:乔迪·德罗夫
推荐阅读:博弈论:决策制胜的法则txt下载 博弈论:决策制胜的法则笔趣阁 博弈论:决策制胜的法则顶点 博弈论:决策制胜的法则快眼 博弈论:决策制胜的法则sodu
上一章目录下一章
    《博弈论:决策制胜的法则》19、20世纪的数学游戏,页面无弹窗的全文阅读!



在整个19世纪和20世纪上半叶,游戏和数学谜题继续发展,相关著作的数量大大增加。詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特、刘易斯·卡罗尔(Lewis Carroll,1832-1898)、爱德华·卢卡斯(Édouard Lucas,1842-1891),以及沃尔特·W.劳斯·鲍尔(Walter W.Rouse Ball,1850-1925),都是19世纪的作者。由于我们无法逐一对其作品进行讨论,所以接下来只对其联系最为紧密的部分进行阐述,重点放在卡罗尔和卢卡斯的作品上。

《爱丽丝漫游奇境记》的作者刘易斯·卡罗尔,原名查尔斯·路德维格·道奇森(Charles Ludwig Dodgson),是一名牧师、数学家、牛津大学教授。他对数学谜题极感兴趣,原本打算编写一套名为《数学珍品》(Curiosa Mathematica)的书集,但后来没有完成。这套书的第二本名叫《枕头问题》(Pillow Problems)。尽管书里的题目有难有易,但足以显示卡罗尔的解题方法别出心裁。其中比较简单的像是玩笑,例如:我有两块手表,一块不走了,另一块慢一分钟,请问哪块显示的时间更准?而复杂一些的比如:一个无穷大的平面上有三个位置随意的点,它们组成钝角三角形的概率是多少?

《爱丽丝漫游奇境记》的著名作者刘易斯·卡罗尔也设计过一些数学游戏

他不仅设计了许多巧妙的数学和逻辑游戏,而且在语言方面颇有造诣,创作了爱丽丝系列故事,发明了很多文字游戏。“字梯”就是其中之一。这个游戏的目的是从一个单词逐渐变为字母个数相同的另一个单词,中间每次只能替换一个字母,而且在这个过程中所产生的所有单词都有一定意义。例如,从ROOT到NOSE,一种解决方案就是:ROOT——LOOT——LOST——LOSE——NOSE。

然而,这一时期,在游戏和数学谜题方面最重要的人物是法国数学家爱德华·卢卡斯,他主要致力于数论研究。他以研究斐波那契数列而著名,曾编写过一本非常好的手册,名为《趣味数学》。它包括35篇文章,涉及从数学角度分析游戏和解决谜题。卢卡斯在这本书中设计的游戏之一就是我们熟知的“汉诺塔”(Tower of Hanoi)。1883年,在这本书出版时,为了增加这个游戏的神秘感,卢卡斯还声称其来源与一位名叫Claus(克劳斯)的中国老教师有关,这位教师所在的学校名为Li-Sou-Stain。请注意,Claus与Lucas(卢卡斯),Li-SouStain与Saint Louis(学校名,卢卡斯曾在这里教数学),都是相同字母变位词。

19世纪最后一批关于数学谜题的著作之一是沃尔特·W.劳斯·鲍尔的《数学游戏与欣赏》(Mathematical Recreations and Essays,1892)。该著作后来成为20世纪关于趣味数学最具影响力的书之一,版本超过12个。其中1938年,专攻几何的数学家哈罗德·斯科特·考克斯特(Harold Scott Coxeter)曾对其进行了修订和更新。

从19到20世纪的过渡时期,代表人物有两位——英国的亨利·E.杜德尼(Henry E.Dudeney,1857-1930)和美国的萨姆·劳埃德(Sam Loyd,1841-1911),他们是有史以来在数学谜题领域最多产的两位。这两位伟大数学家的巨著中收集了很多谜题,它们直到现在仍然被大众喜欢。

汉诺塔的起始位置。该游戏的目标是将所有的圆盘移到另一座塔上,每次只能移动一个,而且小圆盘上不能放大圆盘

军棋

爱德华·卢卡斯在其数学谜题的第三卷中曾对“狐狸与鹅”游戏进行过分析。这是一种狩猎游戏,在英国,从都铎王朝到维多利亚时代,它一直很受欢迎。不过,这个游戏起源于15世纪的法国。

军棋是一款与之类似的双人狩猎游戏,不掺杂运气因素,19世纪在法国部队当中十分流行。一个玩家有三个白子,另一个玩家只有一个黑子,游戏从黑方开始。棋盘上有11格,棋子置于格内(初始位置如下图所示)。白子要设法将黑子包围,黑子则要设法逃跑。所有棋子要按照棋盘上的连线移动,每次只能走一格。不过黑子可以向任何方向移动,而白子不能后退。

这款游戏看似简单,实际上设计极为巧妙。虽然乍一看,黑子好像一定可以逃脱,但是卢卡斯通过详细的分析证实,对于白方来说,存在制胜策略,总是能至少提前一步阻止黑子逃跑。该分析显示,尽管这个游戏实际上可以简化为16种不同的情况,但白方最多需要12步就能取胜。这么小的游戏,却需要玩家这么精确地把握白子的移动路线,似乎有些令人难以置信;但是,只要玩家发现这个策略,就一定能赢。

军棋棋子的初始位置

另外,亨利·E.杜德尼还著有《坎特伯雷趣题集》(The Canterbury Puzzles,1907)和《数学中的娱乐》(Amusements in Mathematics,1917),其中后者汇集了历史上质量最好、种类最丰富的数学谜题。

杜德尼收集的谜题众多,其中包括一种密码,即用字母来指代数字,每个字母都可以替换成一个数字,字母相同则数字相同,字母相异则数字相异。其中最著名的是杜德尼向父亲要钱的一封信,信中包含了这样一个加法算式:SEND+MORE=MONEY。他父亲必须用数字来替换算式中的所有字母,并且保证相应字母指代的算式结果是正确的(该密码唯一的答案是:9567+1085=10652)。

亨利·E.杜德尼在《坎特伯雷趣题集》中介绍了如何将一个等边三角形分成四块,然后拼成一个正方形

萨姆·劳埃德在世期间,曾经在杂志上发表了很多自己创作的谜题。在他过世几年之后,他的儿子小萨姆·劳埃德将他的作品汇集整理,并于1914年出版了《萨姆·劳埃德的5000个谜题、趣题、难题全书》(Sam Loyd’s Cyclopaedia of 5000 Puzzles,Tricks and Conundrums)。他的谜题当中有一个十分出名,即将布局为3×3的9个点,用一笔画出的4条直线连起来(这个题目也适用于4×4的16个点和一笔画出的6条直线)。另外,他还设计了很多结构式谜题,通过设置数字来满足某些条件。例如,将立方体的八个顶点分别编上数字1~8,要保证立方体每一面的四个顶点数字之和都是相同的。

《萨姆·劳埃德的5000个谜题、趣题、难题全书》的一页

从杜德尼和劳埃德开始,整个20世纪,致力于谜题研究的数学家层出不穷。其中,莫里斯·克莱特契克(Maurice Kraitchik,1882-1957)就是20世纪上半叶的又一位关键人物,他是比利时《斯芬克斯》(Sphinx)杂志的编辑,完成了多部有关游戏的专著。在“二战”以后的很长一段时间里,另一位伟大的数学家马丁·加德纳(Martin Gardner,1914-2010)一直在该领域占据主导地位,设计并收集了大量趣题,撰写了多部专著,并连续超过25年在知名的科学杂志《科学美国人》上发表多篇文章。加德纳一生著书70多部,直到晚年也不断有新作推出,像《折纸、埃莱夫西斯和索玛立方体》(Origami,Eleusis and the Soma Cube)就出版于2008年。他发表的谜题众多,有些是他本人的,有些则是其他人设计的,十分有趣且极富创意,其中包括约翰·康威(John Conway)的《生命游戏》(Game of Life,1970)和罗伯特·阿博特(Robert Abbott)的《埃莱夫西斯》(Eleusis,1956)。

20世纪其他的重要人物还有所谓俄罗斯学派的代表人物雅科夫·佩雷尔曼(Yakov Perelman),法国的皮埃尔·贝洛坎(Pierre Berloquin),英国的伊恩·斯图尔特(Ian Stewart)、布莱恩·博尔特(Brian Bolt)和戴维·韦尔斯(David Wells)。他们都创作了多部专著,并在各种杂志上发表文章。值得一提的还有一些西班牙数学家,跟上述人物一样,他们也曾致力于数学研究,主要也是通过有关游戏和数学趣题的书和文章,向大众进行数学普及。其中,以马里亚诺·马泰斯(Mariano Mataix)、米格尔·德·古斯曼和费尔南多·科尔瓦兰(Fernando Corbalán)成果最为丰富。他们也设计并收集了大量数学趣题。这些趣题和我们之前提到的数学家的作品,都是我们进行数学游戏和数学谜题研究的无尽源泉。

《埃莱夫西斯》,罗伯特·阿博特的游戏中的游戏

如果说游戏是靠目的和规则来定义的,那么《埃莱夫西斯》就绝对不是普通意义上的游戏。因为在这款游戏当中,每位玩家都会设计一种不同的出牌规则,而游戏的目的就是相互揣测这些规则到底是什么。该游戏的玩家为4~8人,需要3副纸牌和几个筹码。玩家有几人,游戏就有几轮。每一轮游戏都由不同的玩家主持(即“主持人”,定出出牌规则)。他们给其他玩家每人发14张牌,并在桌上打出一张牌。在这之前,他们必须先写下发牌规则,从而定好出牌的依据。游戏规则可以非常简单,比如发牌为红色牌接着黑色牌、偶数牌接着奇数牌;不过也可以有无数种可能,比如红色牌接着偶数牌,黑色牌接着奇数牌,或者不同花色的四张偶数牌和同一花色的四张奇数牌。

制定规则的玩家当然不希望其他玩家猜出规则。可这个规则也不能太复杂,要不然其他玩家就很难得分了。其他玩家要轮流出牌,组成一行“正确”的牌,并努力揣测出牌规则(不过绝对不能说出来)。如果主持人宣布出牌正确,那这张牌就被放到这一行里,如果不正确,那这张牌就被放到最后一张正确牌的下面,并且出牌玩家要罚牌两张。从第40张牌开始,只要出牌错误,玩家就得出局。某位玩家的牌全部出完,或者玩家全部淘汰,则游戏结束。

《与众不同的十款游戏》(Diez Juegos Que No Se Parecena Nada),罗伯特·阿博特,书中详细介绍了《埃莱夫西斯》游戏

雅科夫·佩雷尔曼设计的多米诺骨牌谜题:将4张多米诺骨牌摆成正方形,要求各边的点数之和相同。该题目的难点在于,要用所有的多米诺骨牌摆出七个类似的正方形



上一章目录下一章
推荐书籍:恋爱中的苏格拉底:哲学入门十讲 表达力:人生情商课 岸萤 儿童发展心理学 记忆记忆 南货店 萨缪尔森传:现代经济学奠基者的一生·第一卷 希特勒最后的阴谋 我想要两颗西柚 舍不得看完的中国史:秦并天下