丢勒的“叉线”、“燃烧线”和“蛋线”

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从丢勒在《量度艺术教程》勾勒的众多几何形体中，我们可以发现圆锥体横截面的形体。该书在开头便写道：

所有人当中最聪明睿智的当数欧几里得，他汇编了几何学的基础。但凡能够轻松理解他的几何理论的人，也能够轻松驾驭本书的内容，因为本书是针对年轻人和未曾接受过系统教育的人而写的。

在丢勒和同时期的许多其他艺术家看来，艺术家应当学习徒手绘图和几何学，并且能够同等娴熟地使用画笔和直尺与圆规。丢勒认为，艺术家必须熟知如何“测量”，这就是他将其著作命名为《量度艺术教程》的原因。

丢勒在前往意大利的旅程中学习了数学和透视法。在回到家乡纽伦堡后，他通过一些人文主义者朋友的藏书接触到了古典和当代数学文献，这些文献当时正准备印刷出版。（印刷业当时正成为该城市最蓬勃发展的产业之一。）

他显然也学习了欧几里得及其《几何原本》，以及皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡和莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂的理论。在《量度艺术教程》中，他的兴趣并不在于实例演示或纯几何理论，而是在于尝试用几何方法来解决生活中的问题，并以一种艺术家和工匠都很容易理解的方式来描述这些方法。他所涉主题包括线性透视、规则正多边形、正多面体以及柏拉图多面体，并从最实用的角度出发来描述这些几何形体的轮廓。他还探讨了如何运用几何学来描画各种印刷机以及其他一些工程和建筑机械。

为一窥其风格和他表达自我的细致方式，我们来看一看对于描绘椭圆形的方法，丢勒自己是怎样阐述的：

古希腊数学家们已经证明，我们可以从一个圆锥体得出三个不同的圆锥截面，其产生的三条曲线都不会与该圆锥体的底面曲线相同。……每一个这样的圆锥截面都会产生一条特定曲线，接下来我将向各位展示如何绘制这些曲线。博学之士将第一个截面产生的曲线称为椭圆，该截面斜向地切割圆锥体，且不会与圆锥体底面接触。……第二个截面通过画一条平行于圆锥体ab边（该边决定了圆锥体的高度）的直线而产生，或通过画一条平行于圆锥体对面一条边（换言之，圆锥体母线）的直线而产生。学者们将这种截面产生的曲线称为抛物线。第三个截面通过画一条平行于圆锥体轴线的竖线而产生，学者们称该截面产生的曲线为双曲线。我尚不知这些术语是否有对应的德语名称，但是我想给它们取名，这样我们就可以对其进行辨识。我会称椭圆形为“蛋线”，因为它或多或少形似蛋。抛物线则被我称为“燃烧线”，因为有这种曲线轨迹线的镜子可以点火。最后，我会称双曲线为“叉线”。

如果我想要画蛋线，也就是椭圆形，我得首先画一个圆锥体的高度，表示我想要创造的截面以及该截面平面图，然后我会展开如图所示的以下步骤：

假设圆锥体的顶点为a，底面直径为bd。从a点向下画一条垂直线。我将斜切入圆锥体的截面的顶端称为f，底端称为g，然后将线段fg以11个点划分为12个部分，并从f开始，将每个点以数字标注。在圆锥体侧面图的下方，我画了圆锥体的底面图。我将其中心点称为a，圆周设四个点分别为bcde，这刚好与侧面图对应。从线段fg的所有点出发，包括f点、g点和所有以数字标注的点，我们画相应的延长线至底面。我将这些延长线与底面圆周线交叉的点也逐一标上相对应的同等数字和字母。

丢勒书中的插图

以上步骤完成后，我拿出一个圆规，并将其中一个笔尖放置在圆锥体的母线ae上，其高度为分割点1的高度，再将圆规的另一个笔尖放置在圆锥体的母线ad上，并与先前的高度相同。然后我将刚才形成的圆规两个笔尖之间的距离转移到圆锥体底面上，并将其中一个笔尖置于中心点a上，另一个笔尖置于由分割点1画出的线条上。我以a点为圆心，向d点的方向画一条弧线，直至弧线再次与分割点1画出的线条相交。（将该步骤于点2至11都重复了一遍。）

接下来，我将使用圆锥体的底面作为参照物，并以如下方式画出椭圆形的轮廓：

我先是画一条等长于线段fg的垂直线，并保留将该线段划分为12个部分的11个点，再画11条平行的水平线，每一条都穿过前述线段的每个分隔点。然后我在圆锥体底面的线段1上，测量刚才用圆规所画弧线与之相交的两点之间的距离，将该距离转移并延伸至横截面fg上。我将该段距离的两端分别置于线段1的两边。接下来，我在剩下所有以数字标注的线段上重复以上步骤。全部线段完成后，我将所有点连接起来，就画成了“蛋线”，也就是椭圆形。

“蛋线”的绘制印证了《量度艺术教程》中的方法实用、精确。

综上所述，本章介绍了文艺复兴时期一些艺术家撰写的数学著作，从中可以窥见数学与艺术内在关联的一角。