阿尔伯蒂的数学游戏

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莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂是研究数学并撰写数学论著的艺术家之一。除了《论绘画》外，他还写了一本名为《数学游戏》（Mathematical Games）的书。与书名的表面含义不一样的是，该书的写作目的是解决涉及解读测量结果的几何难题。例如，如何确定河流宽度或水井深度，或如何绘制比例地图这样的问题。

阿尔伯蒂对罗马城进行过实地勘测，但绘制的地图却已失传——如果他真绘制出了这样一幅地图的话。他将其研究结果编写入《描绘罗马》（Descriptio Urbis Romae）一书中，并于1433年出版，紧跟着又出版了《论绘画》。《描绘罗马》的引言部分如下：

通过使用数学方法，我已尽可能仔细地记录下了我们这个年代人们熟知的城墙、河流和街道的走向和交会处，还有那些神殿、公共建筑、城门和纪念碑的位置，我还记录了山峦和人居区域的轮廓。在此过程中我发明了一种方法，任何拥有平均智商的人都能方便快捷地用该方法在任何表面上绘制以上事物。我的一些富有智慧的朋友在这个过程中向我提供了帮助，而且我认为这也将有助于他们的研究。

阿尔伯蒂的《描绘罗马》手稿，写于15世纪

皮埃特罗·德尔·马赛奥的罗马地图

阿尔伯蒂在《描绘罗马》中描述的用地形数据绘制的地图可能已经失传。好在若干年后，到了1464年，皮埃特罗·德尔·马赛奥（Pietro del Massaio）在佛罗伦萨出版了托勒密编写的《地理学》（Geography），书中收录了一张用阿尔伯蒂的数学方法绘制的精美的罗马地图（下图）。我们可以看出，除了在地图右下角出现的梵蒂冈圣彼得大教堂和一些零星散落其间的教堂外，马赛奥的主要目标是标明古沟渠、古竞技场、万神殿、图拉真圆柱以及马可·奥勒留圆柱等古代历史遗址的位置。但没法准确确定此图表现的是什么年代的罗马。不管怎样，与现代地图相此，尽管只用了简陋的测量仪器，用阿尔伯蒂的方法仍然具有一定的实用价值。

若干年后，到了大约1450年，费拉拉公爵博尔索·埃斯特（Borso de Este）委托阿尔伯蒂写作一本书来解释《描绘罗马》一书中用到的数学方法，于是，阿尔伯蒂完成了《卢迪数学家》（Ludi Matematici）一书。让我们来看一看书中的内容，他在其中一部分解释了如何着手绘制某一给定地点的比例缩放图。为了做到这一点，他采用了三个不同点的地形数据，数据的收集运用了他自己发明的名为晶体测角仪的装置，通过运用三角形的比例原则，继而勾勒出该地点的地图。

以下文字是从中世纪意大利语直接翻译过来的，并最大限度地尊重了阿尔伯蒂的原始风格：

我现在要谈一种易于使用的测量方法，各位将看到，这种方法尤其适合喇叭枪或其他远距离兵器的使用者。不过，我将该方法用于诸多休闲活动，例如丈量村庄尺寸和绘制风景画，我绘制罗马地图时用的就是这个方法。因此，现在我要告诉各位该方法的运作模式。

我们用如下方法来测量某一地点或某一区域的环境以及其街道和建筑。首先在木板上画一个圆圈，其宽度至少为一个布拉乔（一个佛罗伦萨布拉乔相当于58.4厘米），并将该圆圈尽可能多地等分为若干部分，越多越好，只要这些被等分部分仍然能被很好地加以区分，不至于混淆。我通常会将整个圆形等分为12个部分，并将圆圈的边缘，也就是外圈，等分为48个部分，称为“角度”。然后，再将每个角度等分为4个部分，每个部分称为“微毫”。我还为每个角度标记了相应的数字，如下图：

某个版本的《卢迪数学家》中阿尔伯蒂的“测角仪”

要绘制地图时，先将上述工具放置于一个高平台上，通过该平台可以看到希望绘制的诸多地形地标，例如钟楼等。手持一根悬挂有重物的绳索往后退，直到距离该工具有两个布拉乔远。然后逐一注视地标建筑，确保视线穿过悬挂有重物的绳索以及圆圈中心，且最终落在所注视的地标建筑上。记录下视线所穿过圆圈的角度数字。

现在来想象一下，你正身处某城堡塔楼里，面前放置着该工具，你正从你所在的位置注视着前方的城堡门。你的视线穿过了工具上的20°角，且刚好位于第二个微毫的边界处。这时便在纸上记录“上方城堡门，角度为20°，两个微毫”。然后，不要移动该工具，而是自己进行移动并一边观察这些角度。或许你的视线会刚好穿过工具上24°角零微毫的位置，如果是这样的话就记录下“角度为24°”。用这种方法逐一记录下其他所有地标建筑的角度，并始终保持工具位置不变。所有角度记录完毕后，你就走到从第一处地点能看到的第二处地点，并将该工具同样放置于前，使其与第一处地点的角度刚好对应方才记录下的角度。换句话说，如果某人要从刚才的塔楼航行到现在所处位置的话，那么就会顺着刚才所标记的20.2°角或24.0°角来掌舵。然后在现在这个地点重复刚才在第一处地点所做过的一切，并在另一张纸上逐一记录下该地点与每个其他地标建筑的角度。

最后，你去到第三个地点，重复以上做法，记录下所有角度。我为各位绘制的反映上述流程的图见下页，可以清楚阐明以上步骤。

接下来继续以下步骤：从画板开始，在你认为适合在画板上作画的初始点做一个标记，将此标记设定为刚才记录下的任一地标建筑所在的位置。如果该地标建筑是城堡，则在该标记点上写上“城堡”字样。然后，取一张半个手掌宽的纸，将其以刚才所记录方位的纸张的方式折叠起来，并放置于该标记点上，确保工具中心刚好与标记点重合。从该标记点出发，依照刚才记录下的方位角度画上线条。

相应地，在某个线条上做第二个标记点，以对应刚才所勘测的某一个其他地标建筑。在第二个标记点上，也放置一张与上述类似的纸质工具，并使得所处线条能够对应刚才记录下的城堡的角度数字。换言之，两张纸质工具放置的位置刚好能够对应刚才测量的线条的角度。从第二个标记点出发，依照刚才记录下的角度数字来画线条。在从第一张纸质工具画出的标记某个地标，例如圣多明各的线条与从第二张纸质工具画出的同样标记该地标的线条交叉的位置，做一个标记点，并在上方写上“圣多明各”字样。重复以上步骤以完成该区域内所有地标建筑的标记。如果这两条线相交的角度不明显，则在第三个标记点上放置同样的纸质工具，重复以上步骤，确保对应的线条得以相交且角度完全清晰无误。用文字来解释以上步骤绝非易事，但该步骤本身并不难。按该步骤进行操作是令人愉悦的事情，且对于描绘诸多事物大有用处，各位自己也可加以验证。通过这种方式，我发现了一种定位某条特定古代沟渠的方法，尽管沟渠的走向已消失在山峦中，但仍能找出其位置的一些线索。通过这种方法，各位自己也可以记录你走过的所有旅程，记录任何迷宫的迂回曲折，以及记录任意沙漠，而不会冒犯错误的风险。

各位还可以通过这种方法来非常精确地测量距离。比方说，如果你想要测量从托里·德尔·博瑞克塔楼到城堡的距离，则可以按照以下步骤进行：

以前述方式放置测量工具，记录下得以看见前述塔楼的角度数字，然后注视与你此前所在观测点相距遥远的某个地点。例如，假设你在城堡城垛的一端尽头处，找出并注视另一端尽头处的某个合适物体，记录下其所在角度和微毫数字，然后将该工具以前述方式放置于建筑物的另一侧，并确保其线条直直地顺着城垛向下。从该位置注视上述塔楼，并记录下其方位数据。这一切都完成后，回到房间里或其他任何地方，准备一个平面，假装你要绘制上述步骤所得出的地图。以上述方式用工具在平面上做好标记点，画好线条，线条所交叉的地方呈现如下页图：

我断言，这些标记点之间的空间距离与它们之间的连线距离的比例，刚好等同于从城堡的一端城垛至另一端城垛的空间距离与从托里·德尔·博瑞克塔楼到该标记点的距离的比例。如图中以罗马数字所示，如果城堡的两端城垛相距10布拉乔，而从城堡两端城垛分别至塔楼有220布拉乔的话，那么我们就可以说从塔楼至城堡两端城垛的距离是城堡两端城垛之间距离的22倍。而这种测量方法有助于勘测较近距离而非较远距离，后者需要更大型的测量仪器。