数学与印刷字体

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随着铅活字印刷术的发明，设计新型字体成为一种必要。其中一些字体优雅、美观，因此一直被保存至今，例如克劳德·加洛蒙（Claude Garamond，1490—1561）设计的字体。

要设计出美观的字体，需要有美学、比例学和几何学的知识。因此不足为奇的是，艺术家和数学家们都迎接了设计数学字体的挑战。以下便是15—16世纪数学上字母“M”被设计的两个例子。其中一个例子由数学家卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）设计，另一个例子由画家阿尔布雷希特·丢勒设计。

卢卡·帕乔利于1509年设计的字母“M”

阿尔布雷希特·丢勒创造于1525年的字母“M”

“算盘”学校于13世纪在意大利北部出现，并一直持续至16世纪。这类学校名称的由来或许是斐波那契（Fibonacci）写的《算盘书》（Liber Abaci），这是针对此类学校撰写的第一部教材。学校的名称或许会使我们认为此类学校主要是教授算盘计算工具的使用，然而，事实却与之全然不符。实际上，这种学校教授数学运算时根本不使用算盘，学校教授的是印度—阿拉伯式算术，以阿拉伯算法的形式展开，并且与今天类似的是，是用纸笔进行计算的。学校还教授如何将数学运算知识应用到商业贸易方面。相应地，在这样的背景下，“算盘”这个词语被理解为“计算”或“运算”的近义词。斐波那契著作的标题直译为《算盘书》，实际上应当理解为“数学运算书”。

《算盘书》催生了大量以本土语言写作的有关算术的纲要和手册。这些出现于14世纪一直持续至16世纪的著作被称作“算盘著作”，旨在为经营算盘学校的大师们提供指导。这些书是实用型的，以问题类别成书，运用了重复性方法，聚焦于问题的解决，而不在于总体理论的教授。这些书籍以托斯卡纳语言写成，使大众阅读起来更容易。在14—16世纪写成的大约300部著作都得以保留下来，既有手抄本，也有印刷本。其中一些书籍由于其规模和内容的丰富性，本身就可被视为囊括了算盘数学的梗概。

贝内代托·达·菲伦泽（Benedetto da Firenze）写作的《算术绘画论》（Trattatod'Arismetricha，约1460年）是最著名的“算盘”学校教材之一

尽管“算盘”学校的根本任务是训练各行各业的雇员，入学人员也包括工匠、建筑师、画家、制图员和通常需要接受基础数学训练的人。儿童8岁入学，他们会花一段时间学习阅读与写作。大约两年后，他们会转学到“算盘”学校学习两年。这类学校有时也被称作“算盘作坊”，这种称谓突出了其类似于工匠作坊的结构性特点和学习者的学徒式身份。学生在某种意义上是作坊的学徒，而教授的“大师”称号也与提供行业在岗培训的工匠相同。学生们在完成学业后，会相应地在商业公司或作坊里接受学徒式训练。

通过对这些著作的仔细分析，我们可以推断出，一名优秀的“算盘”学校老师必须知识面广博，不仅要掌握实用型商业运算算法，还得有对理论算法、数论、实践和理论几何学和代数学的领悟力。

“算盘”学校提供的课程可以被划分为三个层次。最基础层次教授的是以下技能：运用印度—阿拉伯算术进行的数字读写，用手指进行计算的能力，展开数学运算的算法，运用分数、叉乘积、货币、重量和测量体系展开的运算，以及一些实践几何学。以上是工匠所学课程的层面。第二层次教授商业算术、会计和簿记学，这些是大型商业公司文员和其他员工获取必备行业资格的课程。第三层次的课程仅针对业余数学家和希望有朝一日能够成为算盘学校导师的人开设，这些课程包括方程式解决和数论，以及更难的商业算术。