两人以上的博弈

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到目前为止，我们讨论的都是双方博弈，包括两人之间、两个公司之间、两支部队之间，或者概括地说，两个群体之间。这样的话，就不可能存在两者或两者以上出于弱化其他对手，扩大己方利益的目的，而结成伙伴关系的情况了。冯·诺依曼和莫根施特恩合著的《博弈论与经济行为》是第一部研究n人博弈的著作，其中介绍了他们的解决理念。

n人博弈

冯·诺依曼和莫根施特恩在其合著里探讨了两人以上的博弈。为了介绍这一部分的主要术语，了解他们寻找解决方案的思路，我们先来看一个高度简化的经济学案例。三家公司E1、E2、E3，价值均为1英镑。每家公司都可以通过合作与其他公司联盟，每个联盟的价值可以提升9英镑。那么，要是两家公司合作，其价值就是11英镑，而三家公司合作，其价值可达12英镑。假设三家公司各方面实力均等，他们应该怎样合作？哪种联盟方式更好？收益该如何分配？

这种博弈可以说是一种“特征形式”的博弈。博弈各方和他们的联盟都拥有稳定的价值，联盟一旦形成，就会像一个新的参与者一样，代替合作的双方来加入博弈，这样我们就能运用双人博弈的方法来考虑这个问题。不仅如此，假设每个联盟会努力将自己的收益最大化，而且该博弈为零和博弈的话，按照我们在之前的章节中所说的，我们可以通过尽量降低对方收益的方法来实现这个目标。另外还有一个前提，一旦联盟形成，该博弈就属于完全竞争性的。

现在，我们来分析一下这个问题的结果。如果三家公司都不合作，那么他们的初始价值都保持不变，即均为1英镑。如果三家公司共同合作（总价值为12英镑），情况就有了对称性。公平起见，各方均分得价值4英镑，这样大家都比较满意；这种分配方法可以用一个三项组合（4，4，4）来表示，从中可以看出各家公司的收益，我们称之为“估值”。然而，在总价值为12英镑的前提下，还有其他可能的估值。如果两家公司合作，比如B和C，那么第三方（A）就只能获得1英镑，其他两家总共获得11英镑；那么一种可能的估值就是（1，5.5，5.5），不过还有很多其他的可能。由于两家公司都想增加收益，那么相比前一种情况的估值来说，这一种似乎更有可能被采纳，因为这种解决方案比第一种更好。

尽管（1，5.5，5.5）的方案似乎最可行，但里面却包含不稳定因素，那就是公司A。由于A未能达成合作，有可能向其他公司，例如B，提出让双方收益更高的合作方式，比方说（5，6，1）。现在B就能有进一步的动作了，以同样的合作要求A继续降低收益，或者C也许会提出新的合作方案。这个过程可能会无限期地继续下去，力求达到一种稳定的分配方式，这样该博弈就被认为是可解决的。

冯·诺依曼和莫根施特恩在多人博弈进行分析之后，很快就得出了结论：没有单一的最佳解决方案。他们认为，这类博弈的解决方案不是由某个单一的估值来决定的。然而，由于该解决方案其实是某些估值的集合（即博弈各方的收益），分析显示，并不是所有估值都能包含在某种解决方案之内，因此他们尝试设置构成解决方案的估值集合所必须满足的条件。

为了理解这些条件的含义，我们需要引入另一个概念，也就是一种估值对于另一种估值的“显性优势”。既然我们知道，每一次联盟和分配的提议都是在前一次提议的基础上形成的，那么新的收益估值就不是随意得出的，肯定要比之前的估值更加合理。这就意味着，参与者必须能够形成新的联盟，并得出相应的收益估值，而且他们现在的收益绝对要比之前提议中的收益更高。

了解了估值和显性优势的概念之后，接下来我们就可以来设置构成解决方案的估值集合的条件了。主要有两点：

1.对于构成解决方案的所有估值来说，该方案中的任一估值都不具备显性优势。

2.对于不包含在解决方案中的所有估值来说，该方案中的任一估值都具有显性优势。

冯·诺依曼和莫根施特恩认为，只要满足这两个条件，那么所提方案不仅可以避免内部矛盾，而且还代表了社会可接受的行为。这种方法的运用有很多局限性，其中最主要的一点就是，对于博弈的参与者来说，不管是任意两者之间，还是所有成员之间，必须始终能够相互自由沟通。