极小极大分析法的优劣

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显然，只要某种博弈具有纯策略，或者包含运气因素的混合策略，都可以利用极小极大定理和之前讲到的通用方法破解矩阵博弈，从而获得可能的最佳结果。我们已经看到，该定理可以广泛应用于各种领域，比如经济、政治、体育以及军事冲突。它不仅适用于某些具有主导策略或均衡点的情况，而且即使某些博弈没有均衡点，也可以利用它来找到平均对弈值，从而为双方确定混合策略，实现最佳收益。

然而，不管是哪种情况，我们都假设存在一个前提，即博弈双方都在“公平竞争”。也就是说，任何一方都假定对方的行为目的是实现利益最大化，并且会运用最公平的策略来保证这一点。然而，如果情况并非如此，其中一方试图欺骗对手的话，又会如何？

莫顿·戴维斯曾在介绍博弈论时讲到，20世纪50年代到70年代，众多研究人员做了大量实验，来观察矩阵博弈中不同参与者的做法。具体地说，1964年，理查德·布雷耶设计了一场可以用纯策略来破解的博弈，即该博弈有均衡点，计算起来很简单。他告诉参与者，其对手有时是专家，有时是随意选择策略的玩家，但事实上，与其博弈的一直都是一位研究人员，只不过该研究人员在频繁地变换策略而已。有时，他们会运用最优策略B；但除此之外，他们都是随意进行。该博弈的收益矩阵如下：

我们运用极小极大定理很快就能破解这场博弈，因为其均衡点为1，即矩阵中的（b，B）一格。也就是说玩家要选择方案b，而研究人员也要选择方案B，这样玩家每轮获得的收益为1。

该实验显示，当玩家发现研究人员重复运用策略B的时候，他们也会选择策略b。但要是情况相反，即对手随意进行，他们也不会维持原状，而是倾向于选择策略a，以实现收益最大化，同时也接受发生损失的风险。实验结束后，相关人员对参与者进行了调查。结果显示，超过一半玩家认为，如果研究人员总是选择策略B，是很“愚蠢的”，因为那就相当于接受1的损失，但如果研究人员选择其他策略，“或许”能获得更好的结果。同时玩家认为一直运用策略b，并不能保证研究人员至少损失1。

这项研究以及其他关于玩家行为的类似研究表明，人们往往不会选择能够获得最佳收益的“公平竞争”，而是倾向于明显会给他们带来更大收益的策略，只有当他们多次发觉事与愿违时，才会转向最优策略。如果某场博弈没有均衡点，也就是需要运用混合策略的时候，玩家的做法就更加无章可循。在这种情况下，即使玩家知道该用什么方法，大多数人也认为没有必要去计算，而是直接跟着感觉走。它们通常会与最佳混合策略相去甚远。

所有这些实验表明，在现实情境中，我们不能一味地假设“公平”，比如认为对手会根据他们的利益选择最明智的做法。为什么会存在这样的现象？或许原因就在于，极小极大策略是一种防守型策略：它能保证某种结果，即在对方采取最明智方法时所可能获得的最佳结果。然而，要是我们不考虑这种假设的话，玩家为什么不试图获得更好的结果呢？

本章分析了双人竞争性零和博弈，并得出结论：在这类博弈当中，双方都有最优策略，并且存在对弈值，可以根据其来确定双方的平均收益。我们可以通过收益矩阵来呈现此类博弈的信息，其中各行显示第一位玩家的策略，各列显示第二位玩家的策略。总的来讲，破解双人零和博弈要遵循以下步骤：先为第一位玩家计算极大极小值（即最小值中的最大值），再为第二位玩家计算极小极大值（即最大值中的最小值）。如果两次计算的结果相等，那么只要双方采取最优策略，就会得出相同的数值（即对弈值），该博弈由此破解。在这种情况下，双方的策略叫作纯策略。

如果极大极小值和极小极大值不同，那么玩家就要放弃已经选定的策略（纯策略），转而重新考虑所有的策略，并分别为其分配概率。我们可以根据这些概率值（其总和必须为1）来确定一种最佳混合策略，并得出双方的平均对弈值。

我们可以通过解一次方程组（方程式的数量取决于策略有多少）确定玩家双方的概率和平均对弈值，其中的未知项就是我们要求的概率和平均对弈值。如果双方的平均对弈值相等，该博弈可以破解，我们就能根据双方得出的概率来确定其最优策略。由于该策略具有随机性，所以属于混合策略。

如果双方的平均对弈值不相等，更确切地说，经过计算，其中一项概率值为负，那么该博弈就无法破解。在这种情况下，我们就需要退回去，重新分析这场博弈，看一下是否存在主导策略。否则，我们就不能再用这种方法了。