数学与期望
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我们在运气游戏中做决策时，所依据的最重要的概念之一就是所谓的“数学期望”（mathematical expectation）。我们先来看几个例子，然后给出该术语的完整定义。假设我们要玩这样一个游戏：抛出两枚硬币，如果都是正面朝上，赢4英镑；都是反面朝上，赢1英镑；一枚正面朝上，一枚反面朝上，输3英镑。我们赢钱的把握大吗？估计能赢或者能输多少？
抛出两枚硬币，可能产生4种结果：两枚正面（p=1/4），两枚反面（p=1/4），一枚正面一枚反面（p=1/4），一枚反面一枚正面（p=1/4）。所以，平均来说，每抛4次，就会两正，两反，两次一正一反。这就意味着，平均来看，输赢结果为1·£4+1·£1+2·（-£3）=-£1。由此可见，这场赌局我们不应该参与，否则就会平均每4局输掉1英镑，更准确地说，是每局输掉25便士。该游戏结果也可以这样来算，将每一种可能情况的概率乘以相应的赢钱数额（或者输钱数额），然后取各项之和，即：
1/4·£4+1/4·£1+1/2·（-£3）=-£0.25
再来看第二个例子。一场骰子赌局，如果点数为6，庄家回报6个筹码；点数为奇数，回报4个筹码；其他情况没有筹码。每轮我们应该下注多少才能保证输赢持平？
我们已知，p（6点）=1/6，p（奇数点）=1/2，所以每轮下来，预计结果为：1/6·6+1/2·4+1/3·0=3个筹码。所以，只要下注3个筹码，就能输赢持平（即玩家不输不赢）。
通过这个例子，我们可以引入数学期望和平衡赌博两个概念，并且从更加广义的范畴来定义它们。假设E1、E2、E3……En代表运气游戏中可能发生，但不会同时发生的事件，其发生概率分别为p1、p2、p3……pn（p1+p2+p3+……+pn=1），相应的回报为r1、r2、r3……rn，那么某个游戏（或某个随机试验）的预计回报，或者说数学期望（X，在这个游戏中即事件E1、E2、E3……En的结果）就可以被定义为：
X=p1·r1+p2·r2+p3·r3+……+pn·rn
根据这个定义，如果某种赌博游戏的数学期望（即每一轮的平均回报）与下注数额相等，那么我们才能称之为公平的（或者说平衡的）。我们还可以说，这类游戏的总体数学期望（预计回报减去赌注）为0。
利用数学期望来判断运气游戏是否平衡，还可以用另外一种方法。
三枚骰子的赌博
某运气游戏玩法如下：玩家给1到6的某个数字，比如3，下注1英镑。同时掷出三枚骰子，如果掷得一个3，赢1英镑；两个3，赢2英镑；三个3，赢3英镑。不论哪种情况，玩家都能赢回下注的1英镑赌金。如果三枚骰子都不是3，则输掉赌金。这个游戏平衡吗？对玩家有利，还是对庄家有利？
乍一看，这种赌法似乎对玩家有利，而事实并非如此。如果我们按照下面的思路来考虑问题的话，这场赌博好像很诱人。由于有三枚骰子，每一枚得到制胜点数的概率都是1/6，那么赢钱的概率就至少是1/2。而且，我们甚至有机会掷得两个甚至三个3。也就是说，该游戏是有利于玩家的。
然而，以上推理是不正确的。其实，该游戏的结果有216（6·6·6）种。出现三个3的情况只是其中一种（p=1/216），出现两个3的情况有15种（p=15/216），玩家赌金翻倍的情况有75种（p=75/216）。因此，玩家输掉赌金的情况就有125（216-1-15-75）种。
输钱的次数（125）要比赢钱的次数（90）更多。我们来计算一下下注1英镑的数学期望：
3·1/216+2·15/216+1·75/216-1·125/216=108/216-125/216=-17/216=-0.0787……
所以，这个游戏是有利于庄家的，预计其每局可赢将近8便士。
由此看出，数学期望在运气游戏中是很有用处的。另外，此概念还可以用于很多随机情境中。这些情境往往与运气游戏毫不相关，举例如下：
提前报名
假设一次会议将于明年7月召开，你很想参加，但由于有工作和其他一些事情，你拿不准是否能够成行。
如果在3月1日之前缴费，报名费是150英镑（如果参加不了，报名费不退）；如果在这之后报名，报名费则是200英镑（甚至到会当天报名缴费也可以）。
2月28日，你估计自己参会的可能性（我们用p来代表此概率）。到底是提前缴费，还是到会之后再缴费呢？概率p的值能给你提供什么信息？
如果提前缴费，期望值是损失150英镑（因为不管你是否参会，费用概不退还）。
如果到会缴费，期望值是损失£200·p+（1-p）·0=-£200·p（只有到会之后才付钱）。
假如p=150/200=0.75，二者就会相等。
因此，假如p>0.75，最好提前报名；假如p<0.75，最好到会以后再报名。假如p=0.75，那怎么做都无所谓。