离奇的概率
《博弈论：决策制胜的法则》离奇的概率,页面无弹窗的全文阅读!
现在我们来看几个有趣的案例，希望其中体现的比赛输赢或打成平手的概率问题，能引发我们对直觉的思考，有时甚至是怀疑。所有这些游戏和问题都会说明，一般来说，我们对于概率的了解并没有自己想象的那么深入，直觉经常会误导我们去相信一些与事实相反的情况。
草地滚球
两位好友约翰和查尔斯酷爱草地滚球，他们玩球的规则如下：约翰有两个球，而查尔斯只有一个。他们设好目标球，并向其滚球。假设二人水平相当，那么约翰的球最靠近目标球的概率是多少？
乍一看，该答案应该是2/3，因为查尔斯只有一个球，这个球可以排在第一、第二，或者第三，而对于后两种情况来说，约翰的球都是最近的。可是，如果我们换个角度来考虑这个问题，就会得出四种可能的结果：约翰的两个球可以停在查尔斯的球之前、之后，或者一个在前，一个在后，或者恰恰相反。在这几种情况下，查尔斯能赢的情况仍然只有一种，但是约翰的球最靠近目标球的概率却上升到了3/4。两种算法，哪个出了错？原因何在？
第一种推算方法是正确的。如果球上没有标记，那可能产生的情况就有三种，而如果球上做了标记，那比赛结果就成了六种，其中约翰的球最靠近目标球的有四种。第二种推算方法是错误的，因为考虑到约翰两个球的具体位置，在可能产生的一般结果中，只有一种可以被一分为二，即查尔斯的球排在中间的时候。如果我们这样处理该结果，就必须对其他两种一视同仁，即查尔斯的球排在最前和最后的时候。
标准骰子
布兰达和罗杰有一枚标准骰子，也就是六面分别标着数字1~6的骰子。布兰达先掷，罗杰后掷。布兰达掷得点数高于罗杰掷得点数的概率是多少？
显然，任意数字出现的概率都是1/6（即罗杰与布兰达点数相同的概率为1/6）。因此，他们掷得不同点数的概率为5/6。那么布兰达点数更高的概率就是该数值的一半，也就是5/12。
赢的概率是多少？
有三枚不同颜色的骰子。红色骰子上标有数字2、4、9，每个数字标在两面上；蓝色骰子标有数字3、5、7，每个数字也标在两面上；白色骰子上标有数字1、6、8，标记方式跟前两个一样。两位玩家轮流选择一枚骰子投掷，点数较高者赢。如果让对方先选择骰子，那么对方就有可能一直选择正确的骰子，从而保证其获胜的概率更大。应该如何操作？骰子该如何选择？
创作于1世纪的庞贝古城壁画，上面有两个人在掷骰子
尽管所有骰子上的数字之和都是一样的，但这其中蕴含着玄机。即蓝色压制红色，白色压制蓝色，红色压制白色。对这3组配对来说，掷9次骰子，平均前者赢5次，后者赢4次。这就意味着，我们可以通过分析每一对骰子可能产生的所有情况轻松计算出概率，即一枚骰子点数较高的概率为5/9，另一枚点数较高的概率为4/9。因此，只要他们别选错，第二位选骰子的玩家就一定会有更大的胜算。
有争议的抽奖
老师决定在班上的30名同学中抽奖。有人建议，拿出30张纸，每张纸都做上标记，折起来混到一起，然后再发给每一位同学。老师提出了更加简单快捷的方法：“我从1~30找一个数字，将它写到纸上，然后按照你们的座次，依次经过你们身边，然后每位同学说出一个不同的数字，看谁先猜到我找的那个。”一个坐在后排的同学不同意这种做法，他认为他可猜的数字范围很小，与第一位同学相比，他能猜的数字很少，而且他甚至很有可能根本没有猜数字的机会，因为他前面的同学很有可能已经猜中答案了。这位同学的想法正确吗？或者说，老师提出的抽奖办法公平吗？
老师的推算方法是完全公平的，每位同学猜中的概率都是一样的，都是1/30。事实上，对于第一位同学来说，猜中的概率就是1/30，因为他要从30个数字中做出选择。第二位同学猜中的概率则是：29/30·1/29=1/30。更明确地说，该公式中的两部分分别是第一位同学猜错的概率（29/30）和之后第二位同学猜中的概率（1/29）。那么，第三位同学猜中的概率就是：29/30·28/29·1/28=1/30。以此类推，直到最后一名同学。另外，请注意，第一位同学猜中的概率是1/30。假如其他同学猜中的概率降低了，那全班同学的概率之和就不等于1了；这是不可能的，因为所有的数字都被猜过之后，总有一个是正确的。
无趣的赌博
一位轮盘赌玩家经常赌单双数（如果赢了，其赌金翻倍；如果输了，赌金就没了）。他决定按以下方式下注：开始的赌金是一定的，然后每次都以手中现有赌金的1/10下注。如果他一开始有100英镑，然后连赌10局，输赢各5次，那最后剩余的赌金与一开始相比，是更多、更少，还是持平？这个问题可以进一步扩展，假设该玩家的起始赌金数为m，然后每次都以现有赌金数的1/n下注。
乍一看，10局过后，输赢各5次，这位玩家手里的钱跟一开始是一样的，但其实他是输钱的。他每赢一次，赌金增加1/10，相当于将其数额乘以1.1，而每输一次，赌金减少1/10，相当于将其数额乘以0.9。这样一来，输赢各5次（不考虑输赢顺序），玩家的剩余赌金为：100·（1.1）5·（0.9）5=100·1.61051·0.59049=100·0.95099=£95.099，少了将近5英镑。这种算法可以进一步延伸，由于（1+1/n）·（1-1/n）=1-1/n2，该结果小于1，所以玩家最终的赌金一定比一开始少，因为一个初始数值，乘以一个小于1的数，得出的数值一定是更小的。
共同的生日
接下来又是一个令人出乎意料的概率问题：在25个人中，至少有两人同一天生日的概率是多少？考虑到一年有365天（闰年不计），而人只有25个，我们往往会凭直觉认为这种概率很低，至少不会超过0.5（多半不可能）。而我们通过概率计算就会发现，这个问题的答案实际上是超过0.5的（可能性很大）。
18世纪的一幅插图中的人在玩“单双数”游戏，轮盘赌就是由该游戏发展而来的
的确，既然有可能两人或两人以上同一天出生，我们只要算出在这25个人中，每个人生日都不同的概率就可以了。因此，我们来挨个看一下这25个人。第一个人的生日可以是365天中的任意一天，第二个人的生日就是剩余364天中的任意一天，第三个人的生日就是再剩余的363天中的任意一天，以此类推。这样一来，25个人生日都不同的概率是：
p（不同生日）=365/365·364/365·363/365·……·341/365
=365!/（340!·36525）≦0.4313
有了这个结果，我们就可以推算出，至少两人同一天生日的概率为：1-0.4313=0.5687>1/2。事实上，只要有23个人，此概率就会超过1/2。
运气没有记忆
当我们判断某些独立事件的可能性时，往往会被直觉误导。假设我们在看一场轮盘赌，已经连续10次转到了双数。我们需要决定下一轮向单数还是双数下注。哪一种选择最好？有了最基本的概率知识，我们会毫无疑问地说，之前的结果都无所谓，因为转到单数或者双数的概率都是一样的。我们常说“二者毫无关联”，然而，人们往往意识不到这一点，就像我们接下来要分析的案例一样。
抛硬币
一位数学老师让学生抛硬币数次，比如150次，并记录结果，正面朝上记为1，背面朝上记为0。两名学生的记录结果如下：
拉莎：010110011001010110110100011100011011010101100100010101001110011010110010110010110010010111011001101101010010110010101100010011010110011101110101100011
卢克：100111011110100111001001110010001110111111010101011110000101000101001000001000110001010000000001100100001001111100001101010010010011111101001100011010
老师看了结果后，认为里面有问题。很明显，一名学生正确地完成了试验，而另一名学生觉得抛硬币没必要，只要随意写下一串1和0就能糊弄过去。不幸的是，他们对概率并不是很了解，老师很快就发现其中一人偷懒了。他们之中谁没有抛硬币呢？
拉莎的记录中1和0的分布比较规律，所以老师怀疑作弊的是她。事实上，我们比较一下拉莎和卢克的结果就会发现，一方面两人的记录中，1和0的个数很相似而且“很合理”（前者为78和72，后者为70和80）；但是在拉莎的数据中，1和0连续出现的次数很少（最多3次），而在卢克的数据中，1和0却连续出现4次、5次，最多达9次。因此老师才会怀疑拉莎。
如果我们从条件概率的角度来分析两人的记录，并且要记得，每次抛硬币的结果都与之前的结果无关，那我们就能清楚地知道，一个1后面，1和0应该“合理”分布。而事实上，在拉莎的记录中，一个1后面，有47个1和30个0，两个1后面，只有5个1和18个0，而且有5次出现三个1之后，也总有一个0。而且在她的记录中，关于0的排列，这种偏差也很明显，但是卢克的记录却不是这样（比如，两个1后面有18个1和14个0，三个1后面有9个1和9个0）。这样一来，拉莎对运气的记录太过规律，从而让老师怀疑她捣了鬼。
然而，信息是否影响概率呢？在接下来的情境中，基于这个问题所产生的决策真的十分耐人寻味。下面这个游戏，是经典的“囚徒困境”问题的变体。它说明，要想证实给出的信息如何影响概率，是相当困难的。
游戏节目
电视游戏节目中经常设计一种挑战，让选手猜哪扇门后有奖品。选手面前有三扇门，只能选择一扇（但不能打开）。主持人（知道哪扇门后面藏着奖品）先打开一扇门，这扇门既没有被选手选中，后面也没有奖品。然后主持人问选手，在两扇尚未打开的门中，他要不要将一开始选择的那扇换成另一扇。如果选手要换的话，他赢得奖品的概率会更大吗？
这是一个新的概率问题，十分有名且颇具争议。我们必须考虑每扇门后藏着奖品的概率是如何变化的。选手从三扇门里选一扇，选中奖品的概率是1/3。当主持人从另外两扇门中选一扇（没有奖品的）打开之后，第一扇门的概率并未发生变化，因为我们已经知道打开的那一扇没有奖品。然而，另外那扇没有选中的门（仍然关着）的概率的确发生了变化，已经从1/3上升到了2/3（剩余两扇关闭的门的概率之和必须是1）。因此，选手应该选择换门，将胜出概率提高到2/3。这个问题引发了争议。按照上面所说，选手最初选定的那扇门的概率是没有变化的，但也不一定。如果不是让主持人打开一扇没有奖品的门，而是选手在第一次做出选择之后，再从剩下的两扇门中选一扇，并询问后面是否有奖品，主持回答是或否。在这种情况下，第一次选中的那扇门的概率就从1/3上升到了1/2。
谦逊的两次诺贝尔奖得主
莱纳斯·鲍林（Linus Pauling，1901-1994）在第二次获诺贝尔奖时（1954年因其在量子化学方面的成就，首次获得诺贝尔化学奖；1962年，因反对核弹测试，获得诺贝尔和平奖），以明显开玩笑的口吻说道，第一次得奖特别不容易，因为概率大约是60亿（世界人口总数）分之一，而第二次的含金量大大下降了，因为概率是几百（在世的诺贝尔奖曾经得主的人数）分之一。这句话虽然风趣幽默，却是错误的推理，问题出在哪里？
1962年，莱纳斯·鲍林（右）获诺贝尔和平奖
如果说，第二次得诺贝尔奖的概率只看已经获过此奖的人数，那前提必须是，评委会决定，这次得奖的必须是之前得过奖的人。如果没有该信息，至少在概率上，第二次得奖跟第一次得奖的难度是完全一样的，因为在选拔过程中，评委会并未考虑候选人以前是否得过其他诺贝尔奖项。因此从概率的角度来评判诺贝尔获奖的想法，本身就很可笑，因为这显然不仅是运气问题，更主要的还是看得主的成就。
我们可以将这个游戏进行扩展，得出一个有趣的题目。假设有n扇门，其中一扇后面有奖品。选手选择一扇（但并不打开），主持人从其他门中打开一扇没有奖品的，然后问选手要不要换。然后主持人再打开一扇（从其他关闭的门中选择，选手最后选定的一扇除外）没有奖品的，再问选手要不要换。游戏继续，直到剩下两扇关闭的门，选手再做最后一次选择。在整个游戏过程中，为了保证最大的得奖概率，选手应该怎么做？获胜的概率是多少？
首先，主持人每打开一扇门，所有关着的门后有奖品的概率都会发生变化，选手选中的那扇除外。这意味着，保证赢奖概率最大化的策略就是不要换，直到最后只剩下两扇门，这时选手就应该换了，他赢奖的概率就成了（n-1）/n。另外，选手第一次选的时候，赢奖的概率是1/n（不要忘了一共有n扇门）。如果选手直到剩两扇门的时候才换，那一开始选的那扇门的概率仍然是1/n。也就是说，另外一扇尚未打开的门的概率就是（n-1）/n，可能会更高一些。另一方面，如果选手中途换门，那这个概率（取决于选手换门的次数和时机）计算起来就要复杂得多了，不过一定会超过1/n（任意一扇门的概率都至少会上升一次）。这就是说，只剩两扇门尚未打开的时候，无论哪一扇，概率都不到（n-1）/n了。我们要想更深入地研究这个游戏，就可以分析一下，当我们运用不同策略的时候，其概率会如何变化。结果很复杂，但也很有意思。