游戏11（双人）：只看奇数

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桌上有20枚棋子，两位玩家轮流拿，每次可拿1枚、3枚或者5枚。拿走最后一枚者胜。两位玩家中，谁占优势，第一位还是第二位？如果棋子数变了，情况还会如此吗？该游戏是否跟之前那些一样，也属于策略游戏，还是另当别论？

如果我们玩几次这个游戏，很快就会发现，第二位玩家总是会赢，第一位玩家毫无回天之力。其实，第二位玩家甚至是被迫胜出的，不想赢都不行。与之前的游戏不同，在这个游戏中，奇偶性（包括初始棋子数的奇偶性和每次拿走棋子数的奇偶性）起了决定性作用。这就意味着，制胜策略无从谈起，因为该游戏的破解方法是由其规则决定的。

事实上，假如一开始有20枚（或者任意偶数）棋子，第一位玩家拿走1枚、3枚或者5枚（或者任意其他奇数）之后，桌上剩余的棋子数一定为奇数（偶数减奇数等于奇数）。轮到第二位玩家的时候，拿走的棋子数也只能是奇数，剩下的棋子数则为偶数（奇数减奇数等于偶数）。这样一来，第一位玩家留在桌上的棋子数将总是奇数，而第二位玩家留下的就总是偶数。由于0是偶数，所以不管双方怎么拿，最后胜出的一定是第二位玩家。同理，如果初始棋子数为奇数，最后胜出的一定是第一位玩家。

游戏12（双人）：圆形和正方形

在纸上画一行圆形和正方形。两位玩家轮流擦掉两个一样的图形（两个圆形或两个正方形），用一个圆形代替，或者擦掉两个不同的图形，用一个正方形代替。这样图形越来越少，最终只剩一个图形：如果剩下正方形，则第一位玩家胜；如果剩下圆形，则第二位玩家胜。该游戏有制胜策略吗？如果圆形和正方形的初始数量变了，又会怎样？这是真正的策略游戏吗？让我们以下图所示的初始构型为例来看一下：

很明显，不管怎么玩，第二位玩家好像一定会赢（即最后剩下的图形一定是圆形）。圆形数量的变化似乎不会影响游戏的结果，而正方形数量的变化却可以。

这其实算不上是一个游戏，因为其初始构型和规则决定了花落谁家。要弄清楚这一点，我们需要分析一下，整个游戏过程中正方形的数量是如何变化的。游戏每进行一步，正方形的数量要么不变（即用圆形代替两个圆形，或者用正方形代替一个圆形和一个正方形），要么减少两个（即用圆形代替两个正方形）。这就意味着，如果一开始正方形的数量为偶数，在整个游戏过程中就都是偶数，所以最后剩下的就不可能是正方形；如果这个数量为奇数，则情况相反。

小游戏练习

画三角形。双人策略游戏。画一个圆，并在上面随意标出6个点。两位玩家轮流在两点间画一条线。一位用黑笔，一位用红笔。玩家可连接尚未画线的任意两点。成功用同色笔画出三角形的玩家胜。哪位玩家占优势？如何确保自己一定能赢？如果一开始的点数变了，情况还会如此吗？这个游戏也可以反过来玩，即谁先画出自己颜色的三角形，谁就输了。情况又会如何？

巧克力块（I）。一块巧克力上有28个正方形小格，呈4排7列分布。第一位玩家将其掰成两块，不能破坏任何小格。第二位玩家从中选出一块（丢弃另一块），再将其掰成两块。双方轮流进行，沿网格线掰巧克力。无法继续掰的玩家输。该游戏的制胜策略是什么？如果这块巧克力上有27个正方形小格，呈3排9列分布呢？

巧克力块（II）。跟上个游戏类似，也是将巧克力掰成两块，不过这次的巧克力上有50个正方形小格，呈5排10列分布。两位玩家轮流将其（或其中一部分）横向或者竖向（不破坏任何小格）掰开。不过这一次，我们要保留巧克力的所有部分。谁先掰剩一个正方形小格，谁就输了。该游戏的制胜策略是什么？如果谁先掰剩一个正方形小格，谁就赢了呢？

本章的重点是策略游戏，尤其是那些可以被全面分析的策略游戏。我们的目的在于探讨如何运用数学来为某位玩家制定制胜策略，前提是该策略的确存在。在解决数学问题的过程中，我们可以采用启发法，比如研究具体案例、假设游戏结果并逆向倒推、利用对称性，以及考虑奇偶性等。然而，一旦这些分析游戏的技巧变成了制胜策略，该游戏就不再是游戏，而变成了另一个已经解决的数学谜题。

从广义上讲，在我们分析过的游戏中，有些相当于尼姆游戏，棋子数量起关键作用，有些相当于尼姆车游戏，除了棋子数量，还涉及位置因素，导致原本适用于尼姆游戏的问题解决策略无法使用，从而使得确定策略的过程更加复杂。