2．公理集合论的解决

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对罗素悖论的分析表明，它是基于如下几个前提或假定之上的：（i）素朴集合论中的概括原则，即任一性质F（x）决定一个集合S；（ii）对任一集合S，S∈S是一有意义的命题；（iii）任一集合S可作为元素属于另外的集合S′或属于S自身；（iv）一阶逻辑是集合论的基础逻辑。由这四个前提，可推出康托尔悖论赖以产生的另两个前提：（i）存在大全集，即有由一切集合组成的集合；（ii）由任一集合可以生成其幂集，即由该集合的所有子集构成的集合。一般认为，作为集合论的基础逻辑的一阶逻辑是不可动摇的，于是要摆脱悖论，就只能至少否定前三个前提或假定之一。两种集合论公理系统ZF（C）和GB（C）分别作出了不同的选择，ZF（C）否定（i），对集合的生成作出更严格的限制；BG（C）否定（ii），对集合元素的身份作出更严格的限制。

ZF（C）是在1908年策梅罗系统的基础上，经斯柯伦、弗兰克尔、冯·诺伊曼等人的改进和补充所建立的一个公理化系统，是对素朴集合论的形式化处理。其核心做法是修改原来的概括规则：并非由任一性质都能决定一个集合，而只能在已经形成的集合中由任一性质能够分离出一新的集合。这一思想体现在分离公理模式和正则公理中。ZF（C）系统的初始概念是集合和属于关系，有以下十条公理：外延公理、空集合存在公理、无序对集合存在公理、并集合公理、幂集合公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理（亦称基础公理）和选择公理（记为C）。(18)这里把与处理悖论相关的两个公理详述如下：

分离公理模式　对任一集合x和任一集合论公式A（z），都存在另一集合y，y的元素恰好由x中所有那些满足公式A（z）的元素构成，即

正则公理　对任一非空集合x，都存在另一集合y，使得y∈x但y与x不相交，即

由于采用这些公理，康托尔悖论和罗素悖论所赖以产生的那种大全集不再出现，由此避免了悖论。

BG（C）是冯·诺伊曼于1925年提出的系统，后经贝尔纳斯、哥德尔修改而成。这个系统的创立者认为，悖论产生的真正根源不在于使用了过大的集合，而在于让这些过大的集合再作为其他集合或它自身的元素。因此，有必要对做集合元素的资格作出更严格的限制，具体做法是：不修改概括规则，而区分集合和真类，前者可以作为其他集合的元素，而后者则不能再作为其他集合的元素，由此摆脱悖论。BG（C）系统的公理分为五组：A组公理，4个；B组公理，有关真类存在的8个公理；C组公理，有关集合存在的4个公理；D组公理，类似于ZF（C）中的正则公理；E组公理，即选择公理，但比ZF（C）中的选择公理稍强。(19)后来证明，BG（C）是ZF（C）的保守扩充，即ZF（C）的定理都是BG（C）的定理，但BG（C）中涉及真类的那些定理不是ZF（C）的定理。我们将这一结果称为这两个系统的准等价性。

从技术上说，ZF（C）和BG（C）作为避免悖论的方案是成功的，但问题在于是否需要对它们做哲学辩护。按前面所谈到的罗素、苏珊·哈克等人的意见，是需要做这种辩护的，因为可以对这些系统的背景假定提出质疑，如它们在公理的选择上存在任意性、特设性，公理本身有真假对错问题，这些系统本身有一致性或可靠性问题，而按哥德尔不完全性定理，最后一个问题只有在比这些系统更强的系统中才有答案，因此只能获得相对的解决。按另一些人的意见，这些系统能够避免悖论，并且能够做现有的数学，这就是对这些系统的最好辩护。