3．步骤Ⅲ：元逻辑研究
《逻辑哲学研究》3．步骤Ⅲ：元逻辑研究,页面无弹窗的全文阅读!
形式系统一经构造完成之后，本身立刻就成为研究的对象，成为对象理论。以形式系统为对象的理论称为元理论。如果元理论的对象是逻辑形式系统，特别是一阶逻辑形式系统，则称这种元理论为元逻辑。形式系统内所使用的人工符号语言称为对象语言，这种语言无法刻画形式系统的性质，而且也不能说明自身的性质。为了完成这种说明和刻画，就需要一种区别于对象语言的语言，称为元语言。元语言往往是自然语言加特定的符号语言，在元理论研究中就要使用这种语言。
元理论是从语法和语义两个角度研究形式系统的性质的。语法处理和研究形式系统内符号与符号之间的关系。逻辑语法包括两部分：基本语法和理论语法。前者涉及形式系统的构造，它实际上规定了用形式化方法构造形式系统的程序：首先是给出该系统的字母表，其次是给出形成规则，再次是给出公理，最后是给出变形规则，剩下的工作就是根据变形规则从公理推出定理。理论语法则把构造好的形式系统本身作为研究对象，研究后者的一系列语法特性，诸如语法意义上的一致性、完全性、独立性、可判定性等。语法研究要使用语法元语言，例如我们前面陈述一阶语言L的形成规则、公理、变形规则时，谈到L的合式公式，我们使用了大写字母A、B、C等，这些就是语法语言，通常所谓“矛盾式”、“合式公式”、“证明”、“可证”、“定理”、“演绎”等是典型的语法概念，用语法语言陈述的定理叫语法定理。语义处理和研究形式系统中符号和它所指称、所刻画的对象之间的关系。前已指出，我们构造形式系统是有某种直观背景和预定目的的，而这目的之实现必须凭借形式系统的解释。解释把形式系统与一定的对象域连接起来，从而赋予形式系统内的初始符号和公式以一定的意义。至此为止，原本没有任何意义的形式系统就成为反映一定的对象领域的一个有内容的形式理论，形式化的目的在这时就算最后达到了。一旦进入意义领域，我们就开始了对于形式系统的语义学研究。这是关于形式系统的元理论研究的重要方面，它研究一形式系统是否具有语义的一致性、完全性、范畴性等问题。语义研究要使用语义语言，例如，“真”、“假”、“重言式”、“满足”、“普遍有效”、“解释”、“模型”等是典型的语义概念，用语义语言陈述的定理叫语义元定理。与元定理相对应，用对象语言陈述的形式系统内的定理叫做内定理。在下一节，我们将继续讨论形式系统的解释或模型方面的问题。
总括起来，元理论要研究有关形式系统的下列问题：
第一，形式系统是否具有一致性（或相容性）？
一致性有语法和语义两种涵义。语义一致性是指：一切在这形式系统内可证的公式都是真的。或者说，该形式系统至少有一个模型。语义一致性又叫做可靠性（soundness）。语法一致性是指：并非任一合式公式都在这系统内可证；对于其语言中含有否定号“﹁”的系统来说，这种说法等价于：不存在这样的合式公式A，A和﹁A都在这系统内可证。因此，一致性（无论它是语法的还是语义的）不仅是指一形式系统中没有逻辑矛盾，而且是指它不可能产生矛盾。附带指出，从语义一致性可推出语法一致性。
第二，形式系统是否具有完全性？
完全性也有语法和语义两种涵义。语法完全性又有强的和弱的两种意义。强完全性是指属于一形式系统的每一公式或者是可证的，或者是不可证的；弱完全性是指，如果把一形式系统中不可证的公式加到公理之中，该系统必将导致矛盾。语义完全性则是指：一形式系统内所有与真命题相应的合式公式都在这一系统内可证。
第三，形式系统是否具有可判定性？
可判定性是与能行方法的概念分不开的。所谓能行方法，就是每一步都由某种事先给定的规则规定了的，并且在有穷步内结束的方法。所谓能行可判定，是指对一类问题有一能行方法，对任给该类中的问题，能在有穷步内确定它是否有某个性质，或者任给一对象能在有穷步内确定它是否属于该类。例如，对于形式系统，下述问题一般都是能行可判定的：任一符号是不是系统内的初始符号；任一符号的有穷序列是不是系统内的公式；任一公式是不是公理；任一公式是不是从给定公式根据变形规则得到；任一公式的有穷序列是不是一个证明。但是下述问题，如任一公式是否可证、是否为一定理，任一公式是否常真、是否普遍有效，任一公式是否可满足，却不是对每一个形式系统都是能行可判定的。
第四，形式系统的公理集是否具有独立性？
独立性就是相对于给定的变形规则的可推演性。一公式集合M是独立的，如果M中的任一公式A都不能根据给定的推演规则从M中其他公式推演出来。
第五，形式系统是否具有范畴性？
范畴性只是相对于有模型并且有两个以上的模型的形式系统而言的。具体来说，它是指一个形式系统的所有模型都是同构的，而两个模型同构则是指：两个模型的论域中的元素及其关系能够保持一一对应。
在形式系统的上述元逻辑特性中，一致性是最重要的特性，它涉及到一个形式系统是否能够成立的问题：因为不一致的形式系统包含逻辑矛盾，而按照逻辑定律，从逻辑矛盾可以推出任一命题，这就意味着在该系统内可接受的（真）语句和不可接受的（假）语句之间没有任何区别，而这会毁掉一切科学，因此这样的系统是没有价值的。一致性之外的其他元逻辑特性是次一级的：完全性涉及到一个系统的推演能力，独立性涉及一形式系统选择公理时是否经济，它们都带有某种审美的意味。不过，也不能因此轻视它们，这些特性对于形式系统来说都是十分重要的，特别是完全性，能够把某一范围内的真命题全部推演出来的（即完全的）系统当然是最适用、最理想的。因此，既一致又完全的系统一直是逻辑学家追求的目标。
这里，我们可以区分下述两对概念：
形式化和符号化 所谓符号化，通常是指下述两种情形之一：一是以使用自然语言为主，同时也使用某些特制的人工符号去表示所讨论的理论中特定的概念、命题甚至定理。这可以叫做初步的符号化，它有悠久的历史，并几乎被应用于一切科学之中。二是指将所讨论的理论中的概念、命题、推理分别全部转换为人工符号、符号序列、符号序列的变换，并且这些符号及其序列还必须保持严格的结构联系。这可以叫做严格意义的符号化，即构造形式语言。显然，符号化特别是严格意义的符号化是形式化的前提，但是前者并不就是后者，初步的符号化距离形式化还十分遥远，即使是严格意义的符号化，也只是形式化过程的一个步骤、一个环节，只是形式系统的一个构成要素，形式系统是由形式语言和演绎装置两部分构成的。因此，把符号化等同于形式化是错误的。
形式化和公理化 所谓公理化，是指把一个科学理论构造成为公理系统的演绎方法，它至少包含以下步骤：一是从该理论的诸多概念中挑选出一组初始概念，该理论的其他概念，都由初始概念通过定义引入，称为导出概念；二是从它的一系列命题中挑选出一组公理，而其余的命题都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程被称为一个证明，每一个定理都须经由证明而肯定。由初始概念、导出概念、公理和定理构成的演绎体系，被称为公理系统。很显然，形式化的前提是公理化，但又不等同于公理化，这是因为：有些公理系统的对象域是事先给定的，并且基本上是用自然语言加上特定的符号语言陈述的；而形式系统事先不假定任何论域，事后容许多种不同的解释，并且全部是用人工构造的形式语言陈述的。所以，就其抽象化和符号化的程度而言，形式化比一般的公理化高得多。可以这样说，形式化是严格符号化与公理化相结合的产物，是公理化发展的高级阶段。