公平思想：纳什均衡

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冯·诺依曼和莫根施特恩对博弈论的研究首先是在双人零和博弈领域，后来又扩展到两人以上的博弈。由于在这类博弈当中，可能存在合作关系（即两名或两名以上的参与者同意相互协作），因此也就脱离了严格竞争博弈的范畴。20世纪50年代，约翰·纳什将该理论扩展到不允许协作的非合作n人博弈。纳什主要关注两人或两人以上的非零和竞争博弈，并提出了“纳什均衡”概念。

他的方法并不复杂，起码其主要思想很容易理解。我们假设各个参与者已经开始行动，并各自选择了某种策略。当博弈的结果产生以后，我们就会向他们提问，对自己的行为方式是否满意，或者换句话说，他们是否愿意选择其他做法。假如回答是肯定的，也就是说，所有参与者都认为他们已经选择了最优策略，那么该博弈的结果就是纳什所说的均衡点。

现在，我们通过具体的例子来看一下这种思想的运用。下面的矩阵呈现的是某非零和博弈的结果。

两位参与者选择策略2。结果产生后，双方都对自己的策略表示赞同，认为自己做出了最佳选择。第一位参与者（其策略呈现在各行当中）认为，自己的收益值为5，这是其所能获得的最大收益，而第二位参与者在得知第一位参与者选择了策略2之后，也对自己的选择很满意，因为其收益值是2，而不是0。

然而，上述解决方案是有争议的。有人会说，第一位参与者的选择是“对的”，因为选2更有利，但与此同时，第二位参与者也有可能选择策略1，这样就能获得100的收益。然而，在竞争博弈中，参与者都会努力让自己的收益最大化，所以只要假设第一位参与者理性地选择策略，这种结果就不会产生。

这样一来，在这四种可能的结果中，只有（5，2）会令双方都感到无憾。这就是纳什均衡。在任何博弈中，只要存在不同的结果，就会有一名参与者反对自己的行为方式。究其原因，纳什认为，这会导致一种不稳定的解决方案。

之前，我们寻求解决方案的方法似乎很有意思，所得的结果也十分合理。在此基础上，纳什又证明，任何有限双人博弈都至少有一个均衡点，因此进一步拓展了冯·诺依曼的极小极大定理。在零和博弈中，该均衡点就是利用极小极大定理所得出的对弈值；但是，纳什的结果很有趣，因为正如我们在之前的例子中所看到的，非零和博弈也有均衡点，而且其解决方案仍然是公平的。

然而，一切总有例外。有时候，我们通过均衡点所得出的解决方案虽然看上去是完全理性的，但却出乎意料，而且还具有某些奇怪的属性。