第四章 博弈论
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90%的数学成果都超出了实际需要的范畴，都来自对谜题答案的探索。
——让·迪厄多内（Jean Dieudonné）
博弈论是数学的一个分支，主要用于决策制定。它适用于存在冲突的各种情境，参与者在不知道对方决策的情况下，必须制定出能够使自己利益最大化的决策。该理论是基于抽象游戏形成的，并由此得名，不过其实际意义并不在于游戏本身，而在于将游戏的理念应用于各种问题的分析和解决。
本章的研究重点是存在竞争的双人零和博弈。术语“零和”是指一方的收益必然等于另一方的损失，也就是说，赢家只有一个，获得全部收益。各方一定会设法采取对自己最有利的行动，更确切地说，就是让自己的收益最大化。换句话说，各方的最终目的都是将全部收益收入囊中。
博弈论原理
在介绍博弈论之前，我们先来看三个不同难度的游戏，其中蕴含了几个贯穿本章和下一章的重要概念。需要说明的是，尽管该理论包含“博弈”一词，从而谈及游戏、玩家、回合、策略、平衡的游戏、游戏的价值等等，但实际上，我们这里提出的任何情境都与我们在前几章中提到的“游戏”术语不是一回事。更好的方法是想象某个情境或者冲突，最初发生在两人（或两个群体）之间，规则决定了双方同时做出可行的对策，而不是像第二章中轮流行动。这就意味着，他们在不知道对方策略的情况下，一方得益，另一方损失。因此，从现在开始，我们要探讨的内容包括：博弈——代指某些情境；玩家——某一情境中至少涉及两人；策略——任意一方都将做出相当于游戏招数的决策；收益——更清楚地说，每次决策造成的利益得失。
为了对博弈论的基本原理建立初步认识，我们先来看一个例子。这个例子非常简单，甚至算不上博弈。A、B两人必须同时写下数字1或2。B必须向A付钱，数额为两人写下的数字之和。显然，该博弈并不平衡，因为A一定会是赢家。然而，我们可以提出疑问，双方怎么做对自己有利？我们可以将该博弈看作一个矩阵，也就是收益矩阵，它可能会产生如下结果：
该矩阵中的数字就是B必须支付给A的数额，这要看双方选择的策略（双方各有两种可能的做法，从而产生了矩阵中的四种结果）。由于该博弈十分简单，因此一目了然，假如双方都从自己的利益出发，A就会写2，而B就会写1，那么A的收益为3英镑。
博弈论的先驱
早在17世纪，科学家已经提出建立一门学科，利用科学方法研究人类行为和冲突，比如克里斯蒂安·惠更斯（1629-1695）和G.W.莱布尼茨（1646-1716），但他们并没有取得重要成果。然而到了18世纪，从这个角度分析游戏的相关作品仍然十分罕见。不过，1713年，詹姆斯·瓦尔德格雷夫（James Waldegrave）在信中提出了一种仅限双人的扑克牌玩法。该方法与现在的一种混合策略类似，他利用其提出了极大极小的破解方案。但是，该方案没有形成理论，也没有进行扩展，从而无法应用到其他情境中去。
德国哲学家G.W.莱布尼茨，在数学领域颇有建树
19世纪，多位经济学家建立了简单的数学模型，用于分析基本的竞争情况。其中包括安东尼·奥古斯丁·库尔诺的《关于财富理论之数学原则的研究》（1838），该著作阐述了双头垄断，并提出了解决方案，该方案可以被视为纳什均衡的一种具体情况。然而，从根本上说，直到20世纪，博弈论才发展成一种具有充分依据的数学分支。
为了弄清楚双方如何获得收益，我们需要对他们的做法做进一步分析：由于A不知道B的做法，他肯定会假设，B会尽量减少其付钱的数额。这样一来，A如果写下1，他的收益至少是2英镑，如果写下2，他的收益则至少是3英镑。我们将3（矩阵左下角的数字）称为极大极小值（即最小值中的最大值）。同样，B也会假设，A会设法得到最大的收益。所以B如果写下1，就会最多损失3英镑，如果写下2，就会最多损失4英镑。我们将3称为极小极大值（即最大值中的最小值）。就像这个例子，如果某博弈的极大极小值和极小极大值位于同一格中，那该博弈就可以说是“严格确定的”，并且有一个鞍点（就好比一个马鞍和两条正交曲线，一条有最小值，另一条有最大值，交点就是一条线的最小值和另一条线的最大值重合的点）。
鞍点对应的数值就是对弈值，也就是这个例子中的3英镑。只要双方都实施最优策略，就一定会得出这个数值。如果有一方采取了不同的做法（即运用另外一种策略），其对手就能提高对弈值，从而增加收益或减少损失，具体是哪种情况，还要看他是A还是B。这种博弈也可以称为确定博弈，存在纯策略。
现在，我们来看另一种博弈，双方的策略也具备以上条件，但不同的是收益矩阵，这次是建立在平等标准之上的：如果双方写下的数字相同，A赢1英镑，反之，B赢1英镑。
现在，A的极大极小值是-1（两个最小值都是-1），而B的极小极大值是1（两个最大值都是1）；这一差异意味着这场博弈没有鞍点，如此一来，也就没有纯策略。如果A采取某种策略（比如总写1），要是B发现了，B就会顺理成章地写2，那他就总能赢1英镑。由于该博弈非常简单，且具有对称性，那最优策略就是1和2都要有，这样对手就找不到规律了。所以，最优策略就是行动随机，比如抛硬币，正面朝上写1，反面朝上写2。在这种情况下，纯策略根本无从谈起，因为这里面必然包含运气因素，无法提前确定。如果最优策略牵扯运气，而且不能公开，我们就可以考虑“混合策略”。
这两个例子都是比较极端的情况。在第一个例子中，博弈是由纯策略的选择来确定的，因为如果双方都采用最优策略，那结果将是一致的，我们称之为“对弈值”。而在第二个例子中，预先确定的策略并不一定会产生最佳的结果。要想获得最佳结果，唯一的办法就是运用随机策略，也就是“混合策略”。
现在我们来看另一种博弈，跟之前的例子类似，但是双方的最优策略分析起来要复杂得多。和之前一样，双方可以写下两个数字。A可以写1或8，B可以写7或2。如果双方写下数字的奇偶性相同（都是偶数或者都是奇数），A就赢得收益，数额为A写下的数字；相反，B则赢得收益，数额为B写下的数字。
该博弈的收益矩阵如下：
记住，该收益矩阵中的数字都是针对A的收益来看的；所以，如果B赢的话，就会记为负数，表示A的损失。A能赢1英镑或8英镑，而B能赢2英镑或7英镑。该矩阵没有鞍点；极大极小值为-2（-2>-7），而极小极大值为1（1<8）。事实上，在一个2×2的矩阵中，如果一条对角线上的数值大于其他两个数值，就不会有鞍点。这意味着，该博弈无法确定，没有纯策略。在之前的博弈中，双方的最优策略就是选择随机行动，从而平衡收益。但是，这种情况就不一样了，B是有制胜策略的。尽管双方还是要采用一定程度的随机行为，但其最优策略并不是那么绝对。双方都可以按照一定的比例来做决定。因此，我们可以利用双方的混合策略来破解这场博弈。我们之后还会再来探讨博弈的结果，以及双方最优策略的确定。
你或许已经发现，在用矩阵来呈现的各类博弈当中，各行列出的是第一位玩家的不同策略，各列列出的是第二位玩家的不同策略。这称作博弈的“正规形式”，也是最常见的双人同时做出举动的博弈模式，在我们进行博弈论分析的大多数情境中都会出现。还有另一种呈现方法，我们称之为博弈的“扩展形式”，即用树形图来呈现所有的步骤。最适合该形式的是双方轮流做出举动的博弈。第二章中探讨的大多数游戏皆属此类。
博弈论的诞生
20世纪初，有些科学家已经开始尝试形成某种理论框架。到20世纪中期，该框架不断发展，形成了当今博弈论的理论基础。第一条普遍定理是由恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo，1871-1953）证实的，相关著作最终于1912年完成。该定理的内容为：对于任何有限完全信息博弈（比如国际跳棋或国际象棋）来说，都存在基于纯策略的最佳解决方案，也就是说不需要考虑随机因素。然而，该定理只证实了该解决方案的存在，至于如何寻找这样的策略，却几乎没有说明。
法国数学家埃米尔·博雷尔在概率论领域进行了大量研究
1920年，伟大的数学家埃米尔·博雷尔（Émile Borel）对该新兴理论产生了兴趣，并引入了混合策略（即包含随机因素的策略）的概念。不久，约翰·冯·诺依曼开始了该领域的研究，并于1928年提出并证实了极大极小定理，该定理后来成为博弈论发展的关键一步。该理论的内容为：在双人有限博弈中，有一个平均值，在公平博弈的前提下，该平均值代表玩家A可以从玩家B那里获得的收益，也就是玩家A努力获得的最大收益，或者最少损失。